Если гёч Мерсина провёл анкетирование на рандеву, отправил доки в Анкару для решения, а страховку ОТДАЛ обратно, что это значит? И через несколько дней приходить за решением снова в гёч Мерсина.

Ничего они не отправляют в Анкару. В Мерсине решение о выдаче ВНЖ принимает сотрудник гëча, на месте.

Вам выдали бумажку с суммой для оплаты налога? Вы его оплатили? Вернули квитанцию об оплате сотруднику?
Если нет - то будет отказ, а повод придумают.

То, что вашу страховку не взяли - это мегастранно.
Я бы на вашем месте сразу шла к начальнику на 2-м этаже (был кабинет #2) и спрашивала, почему ваш сотрудник не взял мою мед. страховку.

Мы получали первичку + 2 продления в Мерсине - всегда нам решение об одобрении сообщали сразу. Сначала одобрение, потом оплата налога, в Мерсине это так работает.

У меня в прошлом году был перевод детей на семейный. 2 или 2.5 месяца решение ждали.

Думаю - да, надо ехать раньше и выяснять, что происходит. Поведение сотрудника ненормальное в вашем случае.
А налог сразу оплатили? В день подачи документов на ВНЖ?

Налог в тот же день, да.