Если у человека есть ВНЖ Сербии и у него заканчивается паспорт рф? Он может улететь на замену паспорта в рф и потом прилететь и получить новый ВНЖ?

внутренний паспорт или загран?

внж зависит только от заграна. Его вы можете обновить в Консульстве РФ в Сербии

Улетать необязательно. Можно получить в консульстве РФ внутри страны или в соседних странах. ВНЖ дают не более срока действия загранпаспорта минус три месяца в любом случае (и не более 3 лет)

А если ВНЖ закончился? И паспорт через 3 месяца соответственно. Нужно визаран делать?

Да. Если нет ВНЖ, то надо визаранить.

Загран РФ вы можете сделать в любой момент (как второй паспорт).
При консульстве РФ есть КонсулПрайм, который за деньги даст слот на подачу раньше обычной очереди.
Срок изготовления нового паспорт от подачи документов - 3-4 месяца.