Подскажите, пожалуйста, в течении какого времени нужно мониторить наличие штрафов, после выезда с Грузии?

Если выехали, то можете уже не мониторить до следующего приезда:
1. у вас не будет доступа
2. не сможете оплатить.
3. наличие штрафов можно проверить только на территории Грузии.

доступ есть, https://police.ge/protocol/index.php?lang=en#
Смотря сколько штрафов
Страховку на авто делали?
А статья какая?

В переводчике пишет, пересечение разметки

Именно так. И если штраф вам выписывал патруль (не камеры), то через 60 дней ваши права станут недействительны на следующие 6 месяцев.
Тогда правам ничего не грозит

Так 100 лари это не 3000 а 3300 а х3 уже 9900
Мы не платили во время 50 лари не знали вообще о штрафе , через полгода ехали на границе мозг выносили , поменяли деньги по ужасному курсу и оплатили 150 лари (((

Поэтому лучше оплатить.

Теперь как едем мониторим во время поездки и после

Камеры сразу приходят. Паркинг пару недель мб
Мне со степанцмрнды дошло пока ехал 10 километров

Если вы ещё в Грузии, то номер авто нужно вбивать латиницей на вышеуказанном портале.