Подскажите, пожалуйста, правильно понял из информации консульства, что Виза в Венгрию даёт свободно путешествовать по странам Шенгена? (Литва, Италия) Будапешт, Венгрия

Конечно
Любая шенгенская виза

Виза d национальная не подходит для этого вроде?

Ну та для спец цели, въехать и поменять на карточку. Но некоторые страны и её дают мульти кстати